Kwadrat Magiczny


Kwadrat magiczny składa się z n-wierszy i n-kolumn, a n>2 w które wpisano niepowtarzające się naturalne liczby w taki sposób, że w każdej kolumnie wierszu oraz przekątnych suma liczb jest równa. Jeżeli zgadzają się sumy liczb w wierszach i kolumnach ale nie po przekątnej to taki kwadrat nazywa się półmagicznym.

Najpopularniejszymi kwadratami magicznymi są takie w których wpisuje się kolejne liczby w ciągu arytmetycznym od 1,2,3,4… itd.
Suma magiczna takiego kwadratu jest równa




Najsłynniejszym kwadratem magicznym jest prawdopodobnie ten, który umieścił Albertch Durer na swoim miedziorycie Melancholia I. Zapewne nieprzypadkowo w dwóch wewnętrznych kratkach ostatniego wiersza tego kwadratu stoją obok siebie liczby 15 i 14, składające się na datę powstania grafiki – rok 1514.

16
3
2
13
5
10
11
8
9
6
7
12
4
15
14
1

Kwadrat z Melancholi Duera nad skrzydłem anioła

n=4 S=34 16+10+7+1=34
13+11+6+4=34
3+10+7+14=34
2+11+6+15=34
I wszystkie sume kolumn i wierszy =34




Niektóre własności kwadratów magicznych (n, jak wyżej, oznacza liczbę kolumn i wierszy kwadratu):
  • Jeśli do każdej liczby w kwadracie dodamy tę samą wartość k, to kwadrat pozostanie magicznym, a jego suma magiczna wzrośnie o n·k.
  • Jeśli każdą liczbę w kwadracie pomnożymy przez tę samą wartość k, to kwadrat pozostanie magicznym, a jego suma wzrośnie k-krotnie.
  • Jeśli weźmiemy dwa kwadraty magiczne o tym samym rozmiarze i sumach magicznych S1 i S2, i dodamy liczby na odpowiadających sobie pozycjach, to otrzymany w wyniku tego dodawania nowy kwadrat, który też może być magiczny (nie ma jednak gwarancji, że w tym nowym kwadracie wszystkie liczby będą różne), a jego suma magiczna wyniesie S1+S2.
Dla kwadratów trzeciego stopnia (n=3) prawdziwe są też następujące własności: Sumę magiczną kwadratu można szybko wyznaczyć, bez potrzeby sumowania liczb w kolumnach, wierszach bądź przekątnych, za pomocą wzoru S=\tfrac{3(X+Y)}{2},



gdzie:
  • X – pierwsza liczba kwadratu magicznego (w lewym górnym rogu),
  • Y – ostatnia liczba kwadratu (w prawym dolnym rogu).
Wzór ten można zastosować nie tylko do liczb znajdujących się na tych rogach, a do dowolnych dwóch liczb ułożonych symetrycznie względem środka kwadratu.
  • Liczba znajdująca się na środkowym polu kwadratu jest równa 1/3 sumy magicznej.
Jak zrobić kwadrat magiczny 3x3
Na rysunku poniżej pokazano, jak zrobić kwadrat magiczny 3x3. Wystarczy wybrać jakiekolwiek liczby naturalne dodatnie dla a, b i c, takie, że b/c<>1/2,1,2 oraz a>b+c. Na przykład jeśli a=5, b=3, natomiast c=1, otrzymamy kwadrat jak na rysunku powyżej.
a-b
a+b-c
a+c
a+b+c
a
a-b-c
a-c
a-b+c
a+b


Jak zrobić kwadrat magiczny 5x5
Najprostszą metodą na zrobienie takiego kwadratu jest wpisanie najmniejszej z liczb na środku. W przypadku sumy liczb równej 0 jest to -12. Następnie należy wpisać liczbę o 1 większą w pole znajdujące się o 2 w górę i 1 w prawo (tak jak koń porusza się w szachach). W przypadku gdy jest to pole poza kwadratem należy: liczyć od dołu (jeśli za wysoko) lub od lewej (jeśli za bardzo na prawo). UWAGA: przy wpisaniu piątej liczby zamiast poruszyć się „metodą skoczka” powinno się ruszyć o 1 pole w dół! Należy kontynuować zgodnie z „metodą skoczka” do wpisania dziesiątej liczby (znowu ruch w dół) itd. W przypadku sumy liczb równej 5 najmniejszą liczbą jest -11 i dalej powinno się poruszać zgodnie z instrukcjami opisanymi powyżej. W przypadku sumy równej 10 najmniejszą liczbą jest -10 i dalej powinno się poruszać zgodnie z instrukcjami opisanymi powyżej itd. Pozostaje jednak pytanie: co zrobić jeśli suma ma być niepodzielna przez 5? Odpowiedź jest prosta. Należy znaleźć największą liczbę podzielną przez 5 mniejszą od danej liczby i wykonać polecenia do tej liczby. Dalej powinno się odjąć od wybranej liczby liczbę, do której wykonywało się polecenia. Następnie trzeba znaleźć pięć największych liczb i powiększyć je o otrzymaną różnicę.

23
6
19
2
15
4
12
25
8
16
10
18
1
14
22
11
24
7
20
3
17
5
13
21
9

Na pokazanym wyżej kwadracie wpisano liczby od 1 do 25 i ten kwadrat ma następujące własności:
  • każdy rząd daje w sumie 65
  • każda kolumna daje w sumie 65
  • każda przekątna daje w sumie 65
  • każdy 5-liczbowy plus „+” daje w sumie 65
  • każdy 5-liczbowy krzyżyk „x” daje w sumie 65
  • duży plus „+” (cztery środkowe liczby na bokach i liczba środkowa kwadratu) daje w sumie 65
  • duży krzyżyk „x” (cztery liczby na rogach i liczba środkowa kwadratu) daje w sumie 65
  • gdyby np. przesunąć lewą kolumnę do prawego boku, powstałoby więcej krzyżyków i plusów oraz nowe przekątne, które także dałyby w sumie 65.
Przykłady:
4
11
9
13
8
3
7
5
12
n=3
S=24
1
64
63
4
61
6
7
58
8
59
60
5
62
3
2
65
n=4
S=132
28
11
24
7
20
9
17
30
13
21
15
23
6
19
27
16
29
12
25
8
22
10
18
26
14
                                   n=5
                                   S=90

Brak komentarzy:

Prześlij komentarz

Subskrybuj: Posty (Atom)